Ce principe tire son nom du scientifique Daniel Bernoulli (Groningue 9 février 1700 - Bâle 17 mars 1782). De nationalité suisse, il fut médecin, physicien et mathématicien. Travaillant en étroite collaboration avec Leonhard Euler, qui a donné son nom à des équations importantes (équation d’Euler) de la dynamique (le mouvement) des fluides, il s’intéresse aux sciences mathématiques et naturelles ainsi qu’à la philosophie. Ses travaux sur la théorie de l’élasticité et la mécanique des marées le conduisent à s’intéresser aussi aux équations différentielles et aux séries.

 

Cas d’un fluide parfait

 

On considère que l’air est un fluide parfait, autrement dit dont on peut négliger les forces de frottement. On suppose également un écoulement stationnaire, qui se définit par un écoulement dont les caractéristiques restent inchangées au cours du temps. On prend aussi comme hypothèse que l’air est de masse volumique ρ constante (fluide dit incompressible).

On considère un fluide de volume passant à travers les sections S1 et S2 (d’altitudes z1 et z2) entre les instants t et t + Δt. Tout se déroule comme si ce fluide passait de la position 1 à la position 2. En appliquant la conservation du débit ainsi que le théorème de l’énergie cinétique qui énonce que la somme du travail des forces de pression est égal à la somme de la variation de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle (due à la pesanteur), on obtient, après transformation :

 

1/2ρV2 + ρVgz + p= Constante (entre 1 et 2)

 

avec :

ρ : masse volumique en kg/m3

V: volume en m3

V : vitesse en m/s

g : intensité de la pesanteur en m/s²

z : altitude en m

p : la pression en Pa

 

On peut simplifier cette équation de conservation de l’énergie sous la forme (pour tout z) :

 

p1 + 1/2ρV12 + ρgz1 = p2 + 1/2ρV22 + ρgz2 = p + 1/2ρV2 + ρgz = Constante

 

Et cette relation constitue le...

 

Théorème de Bernoulli

 

p + 1/2ρV2 + ρgz = Constante

 

Chaque terme dans la relation précédente est donc une énergie par unité de volume (une densité d’énergie). Une densité d’énergie cinétique 1/2ρV2, une densité d’énergie potentielle associée à la gravité ρgz, et une densité d’énergie de pression p due aux forces internes au fluide, énergie qui ressemble à celle qui est emmagasinée dans un ressort ou encore à celle contenue de façon potentielle dans une canette de soda remuée. Celle-ci libère alors cette énergie sous forme cinétique lors de l’ouverture.

On en déduit que si la vitesse V du fluide augmente, un autre facteur doit diminuer pour conserver la constante. Dans l’hypothèse où z ne varie pas, la seule valeur qui peut varier est la pression.

 

Ainsi, d’après l’équation, lorsque la vitesse augmente, la pression diminue, et inversement.

 

Le schéma ci-dessous est une représentation simplifiée du tube de Venturi (du nom d’un physicien italien du XVIIIème siècle). La quantité d’air qui passe à l’entrée, au col et à la sortie, est identique : le débit d’air est constant.

 

On a :

ρV1S1 = ρV2S2

 

Ou encore :

V1S1 = V2S2 
pour le gaz incompressible que nous avons considéré

 

Autrement dit, lorsque la section de passage S baisse, la vitesse augmente, et réciproquement.

 

Figure 1 – Tube de Venturi : au rétrécissement du tube, la vitesse augmente et la pression diminue

 

On observe que la vitesse varie : elle s’accroît lors du rétrécissement de section jusqu’au col et diminue lors de l’élargissement. Un fluide passant par un tel tuyau voit donc sa vitesse augmenter en même temps que sa pression diminue (pression notée Ps, comme pression statique sur le dessin, car mesurée perpendiculairement à l’écoulement) lors du rétrécissement au passage du col. C’est le principe de Bernoulli : lorsque la vitesse d’un fluide augmente, sa pression diminue. Notons que le principe s’applique aussi au fluide compressible, comme un gaz, mais seulement dans des cas où la variation de pression ne dépasse pas quelques pourcents.

Nous proposons d’illustrer le principe de Bernoulli par des expériences que nous avons réalisées.